从0理解数学基础

学习算法课程，需要很多数学基础知识，但是并不意味着需要先完整学习数学。

学习首先说人话

首先重温下数学符号，我感觉数学符号就很像地图的图标

第一次看到地铁图时，圆点、颜色和换乘标记可能都很陌生。但地图仅仅是为了把一长段话压缩到一张图里。

数学也可以同样的思路：

字母表示“这里可以放一个数”。

固定数字表示“这条规则里暂时不变”。

等号表示“左右其实是同一个数值”。

下标表示“我要序列里的第几项”。

指数表示“同一个底数要重复乘多少次”。

对数表示“反过来寻找一共乘了多少次” 。

求和符号表示“请按范围把许多项逐个加起来”。

函数表示“一台输入一个数、输出一个数的机器”。

坐标表示“先横着走，再竖着走，找到一个位置”。

斜率表示“横着每走一步，竖着变化多少”。

这东西到底有什么用

我上学的时候就一直困惑数学在生活中又能什么用，导致上了大学后松懈了很多。现在反过来想想有些唏嘘

销量预测

企业可能说：

广告投入每增加一万元，预计销量增加两百件；即使不投广告，也有一百件自然销量。

数学符号能把这条规则压缩下来。以后只要换广告投入，就能得到对应的预测销量。

客户分群

一个客户会有年龄、消费金额、到店次数等许多特征。下标让我们可以明确说“第几个客户的第几个特征”，而不会把行和列弄混。

模型损失

训练模型时，需要把每条样本产生的错误逐项加起来。求和符号就是“遍历所有样本并累计”的压缩写法。

相似度和向量

后面讲推荐、文本向量和神经网络时，会把对象放进坐标空间。坐标轴、点、方向和距离都是理解向量的入口。

趋势变化

销量随价格如何改变、风险随负债率如何改变，都涉及“横向变化多少、纵向变化多少”。斜率就是最简单的变化率。

增长预测与反向求时间

假设一个指标每过一期都乘二：

第 0 期：1
第 1 期：2
第 2 期：4
第 3 期：8

“三期以后是多少”是指数方向；“从一增长到八一共过了几期”是对数方向。

企业里这两个问题经常成对出现：

• 正向：用户按固定比例增长，若干期后大约有多少人？
• 反向：要增长到目标规模，大约需要多少期？
• 正向：资金按复利积累，未来余额是多少？
• 反向：余额达到预算目标还要多久？
• 正向：异常传播按层扩散，几层后会影响多少节点？
• 反向：已知影响规模，估计传播深度。

不用公式，先把过程走一遍

变量和常量

一台饮料机。

• 你选择杯子数量，这个数量可以每次不同。
• 每杯价格暂时固定为两元。
• 包装费暂时固定为一元。
• 机器先计算杯数对应的饮料费。
• 再把包装费加上去

“杯子数量”是变量；“每杯两元”和“包装费一元”是这条规则里的常量。

常量并不表示宇宙中永远不变。它只表示在当前规则或本次计算中保持不变。

等号

机器算完以后，左边的计算过程和右边的最终金额是同一个数。

等号不是“按下计算按钮”，也不是“接下来发生”。它表达的是两边数值相同。

下标

桌上依次摆着三张卡片，卡片上的数字是二、四、六。

如果说“第二张卡片”，你从左向右数：第一张是二，第二张是四。因此答案是四。

下标就是把“第几张卡片”压缩到字母右下角。

幂

“幂”通常指运算的结果

三重复乘两次”的动作是：

1. 先拿一个三。
2. 再拿一个三。
3. 把两个三相乘。

它不是三乘二。指数告诉你底数出现多少次。

指数和对数是一对正反动作

先从一开始，每次乘二：

不乘：1
乘 1 次：2
乘 2 次：4
乘 3 次：8

这叫指数的正向动作：输入“乘几次”，输出“最终变成多少”。

现在把问题倒过来。手里已经有八，每次除二：

8 ÷ 2 = 4  ← 撤销一次乘二
4 ÷ 2 = 2  ← 撤销第二次乘二
2 ÷ 2 = 1  ← 撤销第三次乘二

一共除三次回到一，所以以二为底，八的对数是三。

请分清三种角色：

• 底数二：每次按什么倍数变化；
• 指数三：一共重复多少次；
• 结果八：重复以后到了哪里。

指数运算是把“三”送到“八”，同底对数运算是把“八”送回“三”。几何上就是把 点 (3,8) 交换成 (8,3)，像沿着直线 y=x 照镜子。

连续增长不能总靠整除。例如“哪个数作为e的指数会得到二” 没有整数答案。本课代码会：

1. 把许多越来越小的项逐项加起来，近似 e的x次方 (e自然底数)
2. 先夹住答案；
3. 每次试区间中点；
4. 指数结果偏小就向右找，偏大就向左找；
5. 区间足够窄才停止。

根号

前面这个问题其实就涉及到了需要开方计算了

“开方”就是“指数为分数”的实际操作。

“开方”就是“指数为分数”的实际操作。

开平方 $x^2$ = 指数 $\frac{1}{2}$ （0.5次方）

开立方 $x^3$ = 指数 $\frac{1}{3}$ （约0.333次方）

开四次方 $x^4$ = 指数 （0.25次方）

绝对值

你站在数轴的负四位置。问你距离零点多远。

方向是“在零的左边”，距离是“四格”。距离不会是负数，因此绝对值是四。

求和

还是二、四、六三张卡片：

1. 钱包最初是零。
2. 读第一张卡片，把二放进钱包，现在是二。
3. 读第二张卡片，再放入四，现在是六。
4. 读第三张卡片，再放入六，现在是十二。
5. 三张都读完，停止。 这就是有限求和的真实执行过程。

函数

把函数想成一台规则固定的机器：

输入一个允许的数字。

1. 机器先乘二。
2. 再加一。
3. 输出一个数字。 同一个输入送进同一台机器，必须得到同一个输出。一个输入不能同时得到两个不同答案，否则它就不满足这里的函数规则。

坐标

坐标像在方格地图上找位置：

从原点出发。

1. 先看第一个数，决定向左还是向右走多少格。
2. 再看第二个数，决定向下还是向上走多少格。
3. 落脚位置就是这个坐标点。

顺序不能交换：第一个数管横向，第二个数管纵向。

斜率

从第一个点走到第二个点：

1. 先数横向走了几格。
2. 再数纵向走了几格。
3. 用纵向变化除以横向变化。
4. 得到“横向每走一格，纵向平均变化几格”。

定义域和值域

• 定义域是机器允许你放进去的所有输入。
• 值域是这些输入实际通过机器后得到的所有输出。

先有允许的输入，再有对应的输出。二者不能混为一谈。

用几个数字亲手算一次

变量、常量和等号

输入换成三：

先算 2 × 3 = 6
再算 6 + 1 = 7
所以 2 × 3 + 1 = 7

这里：

• 三是本次放进变量位置的数字。
• 二和一是本条规则里的常量。
• 等号左边算出来是七，右边也是七。

下标

a序列按顺序是：

第 1 项：2
第 2 项：4
第 3 项：6

所以“a 下标二”的值是四。

幂

3 的二次方
= 两个 3 相乘
= 3 × 3
= 9

指数和整数对数

先建立完整指数表：

指数，也就是乘二次数	从一开始的动作	结果
0	一次也不乘	1
1	1×2	2
2	1×2×2	4
3	1×2×2×2	8

因此：

2 的 3 次方 = 8

再从八倒着整除：

已除次数	当前商	下一步
0	8	8÷2=4
1	4	4÷2=2
2	2	2÷2=1
3	1	停止

所以：

以 2 为底，8 的对数 = 3

这不是两个互不相关的答案，而是同一事实的两种问法：

输入次数 3 ──指数──> 输出结果 8
输入结果 8 ──对数──> 输出次数 3

连续情形中，用十二个泰勒项近似 (e^1)。部分和依次从一开始， 不断加入 (1/n!)：

1
1 + 1 = 2
2 + 1/2 = 2.5
2.5 + 1/6 ≈ 2.6666667
继续加到第 11 项 ≈ 2.718281826198493

随后把这个近似值交给自然对数二分查找。每轮只问：

当前中点 m 的 e^m，比目标小还是大？

左右边界不断靠近，最后找回约等于一的输入。这里用约等号，是因为 泰勒展开与二分停止都使用有限容差。

根号

寻找一个非负数
它自己乘自己要等于 9
3 × 3 = 9
所以根号 9 的主值是 3

绝对值

-4 在零点左边
从 -4 走到 0 共走 4 格
所以 -4 的绝对值是 4

求和与部分和

开始：0
读到 2：0 + 2 = 2
读到 4：2 + 4 = 6
读到 6：6 + 6 = 12
结束：12

二、六、十二叫作三个“部分和”。它们把最终答案的来源完整保留下来。

函数输入输出表

规则仍然是“先乘二，再加一”：

输入	先乘二	再加一后的输出	坐标点
-2	-4	-3	(-2, -3)
-1	-2	-1	(-1, -1)
0	0	1	(0, 1)
1	2	3	(1, 3)
2	4	5	(2, 5)

所以本次允许的输入是负二、负一、零、一、二；实际输出是负三、负一、一、三、五。

坐标和斜率

为了计算斜率，再把输入三送进同一规则，得到输出七。

选择两个点：

第一个点：(1, 3)
第二个点：(3, 7)

从第一个点走到第二个点：

横向变化：3 - 1 = 2
纵向变化：7 - 3 = 4
每横走一格的纵向变化：4 ÷ 2 = 2

所以斜率是二。它正好和机器中“先乘二”的二一致。

名词翻译成人话

这些名词不是新的“知识点清单”，只是给前面已经做过的动作贴上方便交流的短标签。

术语或符号	怎么读	人话含义	本课数字
变量 x	艾克斯	可以换成不同数字的输入位置	3
常量	常量	本条规则中暂时不变的数字	2、1
=	等于	左右两边数值相同	两边都是 7
下标 a₂	a 下标二	序列 a 的第 2 项	4
底数	底数	重复参与乘法的数字	3
指数	指数	底数参与连乘的次数	2
log₂(8)	以二为底八的对数	二要连乘多少次才得到八	3
e	自然常数 e	连续增长最自然的固定底数	约 2.71828
ln(y)	y 的自然对数	e 要取多少次方才得到 y	ln(e) 得 1
n!	n 的阶乘	从一乘到 n	3! 得 6
∞	无穷	过程可以继续而没有最后一项	泰勒公式的上界
容差	容差	多接近才允许停止	本课由函数参数给定
√	根号	寻找平方后得到目标值的非负数	√9 得 3
`		`	绝对值
Σ	西格玛	按范围逐项相加	2+4+6
i	索引变量	当前读到第几项	1、2、3
下限	下限	求和从哪个位置开始	1
上限	上限	求和到哪个位置结束	3
f(x)	f of x	函数 f 收到 x 后的输出	x=3 时为 7
定义域	定义域	允许送入函数的输入集合	-2 到 2 的五个数
值域	值域	本次实际得到的输出集合	-3 到 5 的五个数
坐标 (x,y)	x、y 坐标	先横向后纵向的位置	(1,3)
Δ	德尔塔	终点减起点得到的变化量	横 2、纵 4
斜率 m	m 或斜率	横向每走一格，纵向变化几格	2
表达式	表达式	一组尚待求值的数字和操作	2x+1
求值	求值	把输入代入并按规则算出结果	得到 7

下面这张表是本课公式和动画共用的“八栏符号身份证”。“合法范围”不是额外术语，而是在提醒你：一个符号可以接收什么，什么输入必须拒绝。

符号	读法	人话含义	手算值	类型/形状	单位	来源	合法范围
(x)	艾克斯	当前送进表达式或函数的输入	3	单个实数	无	黄金输入	任意实数；本课函数表限于 -2 到 3
(2x+1)	二乘 x 加一	先把输入乘二，再加一	7	单个实数	无	表达式求值事件	(x) 必须是实数
(a_2)	a 下标二	序列 (a) 的第二个座位	4	序列中的单个数	无	序列 [2,4,6]	下标从 1 到 3
(3^2)	三的二次方	两个三相乘	9	非负实数	无	幂运算事件	本课底数、指数均为实数，指数取 2
(2^3)	二的三次方	从一开始连续乘三次二	8	正实数	无	指数对数轨迹	本课离散例的指数是非负整数
(\log_2(8))	以二为底八的对数	反问二连乘几次会得到八	3	单个实数	次	指数对数轨迹	底数大于零且不等于一，目标大于零
(e^x)	e 的 x 次方	连续指数函数在 x 处的输出	x=1 时约 2.718281826	正实数	无	泰勒累加事件	x 为有限实数；有限项结果是近似值
(\ln(y))	y 的自然对数	反查哪个指数产生目标 y	y≈2.718281826 时约 1	单个实数	无	二分事件	y 必须严格大于零
(n!)	n 的阶乘	一到 n 的整数连乘	3!=6	正整数乘积	无	泰勒项分母	约定 0!=1
(\sqrt{9})	根号九	找到平方后等于九的非负数	3	非负实数	无	开方事件	实数范围内被开方数不得小于 0
(\lvert-4\rvert)	负四的绝对值	负四到零点的距离	4	非负实数	数轴格	绝对值事件	任意实数
(\Sigma)	西格玛	按给定上下界逐项相加	12	求和运算符	无	求和轨迹	下界不大于上界，范围内每项都存在
(i)	索引 i	当前读取到第几个座位	1、2、3	正整数	座位	求和轨迹	1 到 3
(f(x))	f of x	函数机器收到 x 后给出的输出	7	实数到实数的映射	无	函数表	输入必须属于定义域
((x,y))	x、y 坐标	先横向 x，再纵向 y 的位置	(3,7)	二维点 (2,)	坐标格	函数点事件	两个分量都必须是实数
(\Delta x)	德尔塔 x	终点横坐标减起点横坐标	2	单个实数	横向格	斜率事件	计算斜率时不得为 0
(m=\Delta y/\Delta x)	m 等于纵向变化除以横向变化	每横走一格，纵向走几格	2	单个实数	纵格/横格	斜率事件	(\Delta x\neq0)